Question

給出下列五個結論其中正確的是
①若實數x，y滿足（x-2）²+y²=3，則的最大值為；②橢圓與橢圓有相同的離心率；③雙曲線的焦點坐標是（1，0），（-1，0）④圓x²+y²=1與直線y=kx+2沒有 公共點的充要條件是⑤設a＞1，則雙曲線的離心率e的取值范圍是．

1. A.
   ①②③
2. B.
   ②③④
3. C.
   ①②③⑤
4. D.
   ①②④⑤

Answer 1

D
分析：根據圓錐曲線的性質逐一判斷，①應用斜率的幾何意義，把看成點（x，y）與點（0，0）連線的斜率，即可通過求圓的切線斜率來計算；②橢圓的離心率e=，所以要判斷兩個橢圓的離心率是否相同，只需求出兩個橢圓中的a，c的值；③要求雙曲線的焦點坐標，必須求出c的值以及焦點所在坐標軸；④直線與圓若沒有公共點，這直線與圓相離，圓心到直線的距離大于半徑；⑤要求離心率的范圍，只需用含參數a的式子表示離心率，再根據a的范圍求出e的范圍．
解答：①=，可看成點（x，y）與點（0，0）連線的斜率，也即圓（x-2）²+y²=3上點與坐標原點連線的斜率．
∴的最值即為過原點的直線與圓相切時該直線的斜率，設過原點的圓的切線方程為y=kx，即kx-y=0，
圓（x-2）²+y²=3的圓心（2，0）到直線kx-y=0的距離=，解得k=±，∴的最大值為，∴①正確．
②橢圓中a=2，c=1，∴離心率為，橢圓中a=，c=，∴離心率為，∴②正確．
③∵雙曲線方程為，∴（2-k）（3-k）＜0，∴2＜k＜3，∴2-k＜0.3-k＞0，∴雙曲線的焦點在y軸上，
且c²=3-k+k-2=1，∴c=1，∴焦點坐標為（0，±1），∴③錯誤．
④若圓x²+y²=1與直線y=kx+2沒有公共點，則圓心到直線的距離大于半徑，即＞1，解得，-＜k＜，若-＜k＜，則圓心到直線的距離大于半徑，∴圓與直線無公共點，∴圓x²+y²=1與直線y=kx+2沒有 公共點的充要條件是，∴④正確．
⑤∵雙曲線方程為，∴c²=a²+（a+1）²，
∴e²===++2=+1，∵a＞1，∴0＜＜1，
∴2＜e²＜5，∴＜e＜∴⑤正確．
故選D
點評：本題主要考查圓錐曲線的一些性質，因為是多選題，只需逐個判斷即可．