Question

在正△ABC中，E，F，P分別是AB，AC，BC邊上的點，滿足，將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，連接A₁B，A₁P．
（1）求證：A₁E⊥平面BEP；
（2）求直線A₁E與平面A₁BP所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BE的中點D，連接DF．說明∠A₁EB為二面角A₁-EF-B的平面角，證明二面角A₁-EF-B為直二面角，證明A₁E┴平面BEF，即可證明A₁E⊥平面BEP；
（2）建立空間直角坐標系，求出，平面A₁BP的法向量，利用，求直線A₁E與平面A₁BP所成角的大小．
解答：解：不妨設正三角形的邊長為3．
（1）在圖1中，取BE的中點D，連接DF．
∵，AF=AD=2，又∠A=60°，△ADF為正三角形．
又∵AE=ED=1，
∴EF┴AD，
∴在圖2中有A₁E┴EF，BE┴EF．
∴∠A₁EB為二面角A₁-EF-B的平面角．
∵二面角A₁-EF-B為直二面角，
∴A₁E┴BE
又∵BE∩EF=E，
∴即A₁E┴平面BEF，即A₁E┴平面BEP
（2）由（1）可知，A₁E┴平面BEP，BE┴EF，建立坐標系則E（0，0，0），A₁（0，0，1），（2，0，0），
F（0，，0），D（1，0，0），不難得出EF∥DP且EF=DP，DE∥EP且DE=FP．
故P點的坐標為（1，，0），
∴
設平面A₁BP的法向量=（x，y，z），
則
∴．
∴
∴A₁E與平面A₁BP所成角的大小為．
點評：本題考查用空間向量求直線與平面的夾角，考查計算能力，空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．