Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以橢圓的上焦點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線截得的弦長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓左頂點做兩條互相垂直的直線，，且分別交橢圓于，兩點（，不是橢圓的頂點），探究直線是否過定點，若過定點則求出定點坐標，否則說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 恒過定點，見解析

【解析】

（1）由題得，，解方程組即得橢圓的方程；（2）設的方程為，的方程為，當斜率存在時，的方程為，過定點，當MN的斜率不存在時，也過定點. 即得解.

（1）∵，∴，

設圓的方程為，圓心為，半徑為，

設為圓心到直線的距離，

則，

∵，

∴，即，

，∵，∴.

所以橢圓的方程為.

（2）設的方程為，的方程為，

聯立，可得，

整理，設，

∵不是橢圓的頂點，

∴，

代入，得，

，

聯立 ，設，

∴，

帶入，得，

，

①若斜率存在，

，

：

恒過.

②若斜率不存在，

的方程為，的方程為，

，，此時：，亦過，

綜上，直線恒過.