Question

（本小題滿分14分）（注意：仙中、一中、八中的學生三問全做，其他學校的學生只做前兩問）
已知函數
（Ⅰ）若，試確定函數的單調區間；
（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數的取值范圍；
（Ⅲ）設函數，求證：．

Answer 1

（Ⅰ） 的單調遞增區間是，的單調遞減區間是．
（Ⅱ）實數的取值范圍是．（Ⅲ）見解析。

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
（1）因為由得，所以．然后根據導數的符號判定單調性得到及結論
（2）由可知是偶函數．
于是對任意成立等價于對任意成立．然后求解導數，分析得到參數的范圍。
（3），
，
運用放縮法得到結論。
解：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的單調遞增區間是，
由得，故的單調遞減區間是．（6分）（3分）
（Ⅱ）由可知是偶函數．
于是對任意成立等價于對任意成立．（8分）（5分）
由得．
①當時，．此時在上單調遞增．
故，符合題意． （10分）（7分）
②當時，．當變化時的變化情況如下表：

	單調遞減	極小值	單調遞增

由此可得，在上，．
依題意，，又．（13分）（9分）
綜合①，②得，實數的取值范圍是．（14分）（10分）
（Ⅲ），
，
，

由此得，

故．（（14分）