Question

【題目】函數，．

（Ⅰ）討論的極值點的個數；

（Ⅱ）若對于，總有.（i）求實數的范圍； （ii）求證：對于，不等式成立．

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】【試題分析】（Ⅰ）先運用求導法則求函數的導數，再分類進行探求； （Ⅱ）先將不等式進行等價轉化，再構造函數借助導數的有關知識進行推證：

（Ⅰ）解法一：由題意得， 令

（1）當，即時，對恒成立

即對恒成立，此時沒有極值點；…………2分

（2）當，即

①時，設方程兩個不同實根為，不妨設

則，故

∴時；在時

故是函數的兩個極值點.

②時，設方程兩個不同實根為，

則，故

∴時，；故函數沒有極值點. ……………………………4分

綜上，當時，函數有兩個極值點；

當時，函數沒有極值點. ………………………………………5分

解法二：, …………………………………………1分

,

當，即時，對恒成立，在單調增，沒有極值點； ……………………………………………………………3分

②當，即時，方程有兩個不等正數解，

不妨設，則當時，增；時，減；時，增，所以分別為極大值點和極小值點，有兩個極值點.

綜上所述，當時，沒有極值點；

當時，有兩個極值點. ………………………………5分

（Ⅱ）（i），

由，即對于恒成立，設，

，

，時，減，時，增，

，． ……………………………………9分

（ii）由（i）知，當時有，即：，……①當且僅當時取等號, ……………………………10分

以下證明：，設，，

當時減，時增，

，，……②當且僅當時取等號；

由于①②等號不同時成立，故有.……………………………12分