Question

如圖為一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.8m，圓上最低點與地面距離為0.8m，60秒轉動一圈，圖中OA與地面垂直，以OA為始邊，逆時針轉動θ角到OB，設B點與地面距離是h．
（1）求h與θ間的函數關系式；
（2）設從OA開始轉動，經過t秒后到達OB，求h與t之間的函數關系式，并求纜車到達最高點時用的最少時間是多少？

Answer 1

分析：（1）以圓心O為原點，以水平方向為x軸方向，以豎直方向為Y軸方向建立平面直角坐標系，則根據纜車半徑為4.8m，圓上最低點與地面距離為0.8m，60秒轉動一圈，我們易得到到h與θ間的函數關系式；
（2）由60秒轉動一圈，我們易得點A在圓上轉動的角速度是

π

30

，故t秒轉過的弧度數為

π

30

t，根據（1）的結論，我們將

π

30

t代入解析式，即可得到滿足條件的t值．

解答：解：（1）以圓心O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，
則以Ox為始邊，OB為終邊的角為θ-

π

2

，
故點B的坐標為
（4.8cos(θ-

π

2

)，4.8sin(θ-

π

2

)），
∴h=5.6+4.8sin(θ-

π

2

)．
（2）點A在圓上轉動的角速度是

π

30

，故t秒轉過的弧度數為

π

30

t，
∴h=5.6+4.8sin(

π

30

t-

π

2

)，t∈[0，+∞）．
到達最高點時，h=10.4m．
由sin(

π

30

t-

π

2

)=1
得

π

30

t-

π

2

=

π

2

，
∴t=30
∴纜車到達最高點時，用的時間最少為30秒．

點評：本題考查的知識點是在實際問題中建立三角函數模型，在建立函數模型的過程中，以圓心O為原點，以水平方向為x軸方向，以豎直方向為Y軸方向建立平面直角坐標系，將現實問題轉化為數學問題，是解答的關鍵．