Question

【題目】如圖，P（x0 ， y0）是橢圓 +y2=1的上的點，l是橢圓在點P處的切線，O是坐標原點，OQ∥l與橢圓的一個交點是Q，P，Q都在x軸上方

（1）當P點坐標為（ ， ）時，利用題后定理寫出l的方程，并驗證l確定是橢圓的切線；
（2）當點P在第一象限運動時（可以直接應用定理）
①求△OPQ的面積
②求直線PQ在y軸上的截距的取值范圍．
定理：若點（x0 ， y0）在橢圓 +y2=1上，則橢圓在該點處的切線方程為 +y0y=1．

Answer 1

【答案】
（1）解：由點（x0，y0）在橢圓 +y2=1上，則橢圓在該點處的切線方程為 +y0y=1．

若P（ ， ），則 ，整理得：直線l：x+y=2，

由 ，整理得：4x2﹣12x+9=0，

△=（12）2﹣4×4×9=0，

∴直線l：x+y=2是橢圓的切線

（2）解：①設P（x0，y0），則x02+3y02=1，且切線l： +y0y=1．

則OQ：x0x+3y0y=0， ，解得： ，

由Q在x軸上方，則Q（﹣ y0， x0），

則丨OQ丨= = ，

由l與直線OQ之間的距離d= ，

由△OPQ的面積S= ×丨OQ丨×d= ，

②設直線PQ交y軸點M（0，m），由P（x0，y0），Q（﹣ y0， x0），x0x+3y0y=0，

由kPQ=kPM，則 = ，

則m=y0﹣ = ，

3=x02+3y02＜（x0+ y0）2≤2（x02+3y02）=6，

故m= ∈[ ，1）

【解析】（1）由定理求得切線方程，代入橢圓方程，由△=0，則直線l：x+y=2是在P點的橢圓的切線；（2）①由定理求得P點的切線方程，即可求得OQ的方程，代入橢圓方程，即可求得Q點坐標，即可求得丨OQ丨，則l與直線OQ之間的距離d，即可求得△OPQ的面積；②由kPQ=kPM，即可求得m，由3=x02+3y02＜（x0+ y0）2≤2（x02+3y02）=6，即可求得m的取值范圍．