Question

醫生的專業能力參數K可有效衡量醫生的綜合能力，K越大，綜合能力越強，并規定：能力參數K不少于30稱為合格，不少于50稱為優秀．某市衛生管理部門隨機抽取300名醫生進行專業能力參數考核，得到如圖所示的能力K的頻率分布直方圖：

（1）求出這個樣本的合格率、優秀率；
（2）現用分層抽樣的方法從中抽出一個樣本容量為20的樣本，再從這20名醫生中隨機選出2名．
①求這2名醫生的能力參數K為同一組的概率；
②設這2名醫生中能力參數K為優秀的人數為X，求隨機變量X的分布列和期望．

Answer 1

解：（1）解：各組的頻率依次為0.2，0.3，0.2，0.15，0.1，0.05，
∴這個樣本的合格率為1-0.2=0.8，
優秀率為0.15+0.1+0.05=0.3．
（2）①用分層抽樣抽出的樣本容量為20的樣本中，各組人數依次為4，6，4，3，2，1．
從20名醫生中隨機選出2名的方法數為，
選出的2名醫生的能力參數K為同一組的方法數為．
故這2名醫生的能力參數K為同一組的概率．
②20名醫生中能力參數K為優秀的有6人，不是優秀的有14人．
依題意，X的所有可能取值為0，1，2，則，，．
∴X的分布列為

X	0	1	2
P

∴X的期望值．
分析：（1）根據合格率、優秀率的意義即可得出；
（2）利用分層抽樣的方法、古典概型的概率計算公式、隨機變量的分布列和期望即可得出．
點評：熟練掌握合格率、優秀率的意義、分層抽樣的方法、古典概型的概率計算公式、隨機變量的分布列和期望是解題的關鍵．