Question

己知集合M={（x，y）|x＞0，y＞0，x+y=k}，其中k為大于0的常數．
（Ⅰ）對任意（x，y）∈M，t=xy，求t的取值范圍；
（Ⅱ）求證：當k≥1時，不等式(

1

x

-x)(

1

y

-y)≤(

k

2

-

2

k

)2對任意（x，y）∈M恒成立；
（Ⅲ）求使不等式(

1

x

-x)(

1

y

-y)≥(

k

2

-

2

k

)2對任意（x，y）∈M恒成立的k的范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由 x，y均為正數，從而t=xy ≤(

x+y

2

)2=

k2

4

，從而求得xy取值范圍．
（Ⅱ）令t=xy，由（1）知t∈(0，

k2

4

]，則  (

1

x

-x)(

1

y

-y)=f（t）=t-

k2-1

t

+2，t∈(0，

k2

4

]，
為增函數，故有 f(t) ≤ f(

k2

4

)，化簡可得 (

1

x

-x)(

1

y

-y)≤(

k

2

-

2

k

)2．
（Ⅲ）由（2）知，即求f(t)≥f(

k2

4

)對t∈(0，

k2

4

]恒成立的k的范圍，故有 0＜k＜1，則1-k²＞0．要使不等式恒
成立，只要

1-k2

≥

k2

4

即可，由此求得k的取值范圍．再把這個k的取值范圍與0＜k＜1取交集，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）由（x，y）∈M知，x，y均為正數，從而t=xy≤(

x+y

2

)2=

k2

4

，
當且僅當x=y=

k

2

時取等號，所以xy取值范圍為(0，

k2

4

]．
（Ⅱ）令t=xy，則由（1）知t∈(0，

k2

4

]，
 得 (

1

x

-x)(

1

y

-y)=

1

xy

-(

x

y

+

y

x

)+xy=

1

xy

-

(x+y)2-2xy

xy

+xy 
=xy-

(x+y)2-1

xy

+2=t-

k2-1

t

+2，
令f（t）=t-

k2-1

t

+2，t∈(0，

k2

4

]，
∵k≥1，∴k²-1≥0，則易證f（t）=t-

k2-1

t

+2，t∈(0，

k2

4

]為增函數，
∴f(t)≤f(

k2

4

)=

k2

4

-

k2-1

k2 4

+2=

k2

4

-2+

4

k2

=(

k

2

-

2

k

)2，即(

1

x

-x)(

1

y

-y)≤(

k

2

-

2

k

)2成立．
（Ⅲ）由（2）知，f（t）=t+

1- k2

t

+2，f（

k2

4

）=(

k

2

-

2

k

)2，
本題即求f(t) ≥ f(

k2

4

) 對t∈(0，

k2

4

]恒成立的k的范圍，故有 0＜k＜1，則1-k²＞0．
則由函數單調性的定義易證f（t）=t+

1-k2

t

+2在(0，

1-k2

]上遞減，在[

1-k2

，+∞)上遞增．
故要使不等式恒成立，只要

k2

4

≤

1-k2

 即可，即 k⁴+16k²-16≤0．
解得-8+4

5

≥k²≥-8-4

5

，即-8+4

5

≥k²．
進一步解得

4 5 -8

≥k≥-

4 5 -8

．
由于4

5

＞9，∴4

5

-8＞1．
綜合1＞k＞0可得，所求的k的范圍是（0，1）．

點評：本題考查不等式的性質，函數的恒成立問題，函數的單調性與最值，體現了換元的思想，利用函數的單調性求出函數
的最值，是解題的關鍵．