Question

定義：若數列{A_n}滿足A_n+1=A_n²，則稱數列{A_n}為“平方遞推數列”．已知數列{a_n}中，a₁=2，且a_n+1=2a_n²+2a_n，其中n為正整數．
（1）設b_n=2a_n+1，證明：數列{b_n}是“平方遞推數列”，且數列{lgb_n}為等比數列；
（2）設（1）中“平方遞推數列”{b_n}的前n項之積為T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求數列{a_n}的通項及T_n關于n的表達式；
（3）記c_n=

log

Tn 2an+1

，求數列{c_n}的前n項之和S_n，并求使S_n＞2008的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）依據“平方遞推數列”定義，結合條件a_n+1=2a_n²+2a_n，可證數列{b_n}是“平方遞推數列”，進而有lgb_n+1=2lgb_n．從而可證數列{lgb_n}為等比數列；
（2）由（1）可得a_n=

1

2

（5^2n-1-1），對T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1）兩邊取對數，可求得T_n=5^2n-1．
（3）c_n=2-(

1

2

)n-1，S_n=2n-2+2(

1

2

)n．要使S_n＞2008，則有n+(

1

2

)n＞1005，從而可求n的最小值．

解答：解：（1）由條件a_n+1=2a_n²+2a_n，得2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²．
∴{b_n}是“平方遞推數列”．∴lgb_n+1=2lgb_n．∵lg（2a₁+1）=lg5≠0，∴

lg(2an+1+1)

lg(2an+1)

=2．
∴{lg（2a_n+1）}為等比數列．
（2）∵lg（2a₁+1）=lg5，∴lg（2a_n+1）=2^n-1?lg5，∴2a_n+1=52n-1，∴a_n=

1

2

（52n-1-1）．
∵lgT_n=lg（2a₁+1）+lg（2a₂+1）+…+lg（2a_n+1）=

(1-2n)lg5

1-2

=（2ⁿ-1）lg5．
∴T_n=5^2n-1．
（3）c_n=

lgTn

lg(2an+1)

=

(2n-1)lg5

2n-1lg5

=

2n-1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1，
∴S_n=2n-[1+

1

2

+(

1

2

)2++(

1

2

)n-1]=2n-

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2n-2[1-(

1

2

)n]=2n-2+2(

1

2

)n．
由S_n＞2008得2n-2+2(

1

2

)n＞2008，n+(

1

2

)n＞1005，
當n≤1004時，n+(

1

2

)n＜1005，當n≥1005時，n+(

1

2

)n＞1005，∴n的最小值為1005．

點評：本題考查新定義，將數列放到新情境中，關鍵是正確理解題意，挖掘問題的本質與隱含．