Question

已知橢圓：（）的離心率，直線與橢圓交于不同的兩點，以線段為直徑作圓，圓心為
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當圓與軸相切的時候，求的值；
（Ⅲ）若為坐標原點，求面積的最大值。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.

解析試題分析：（Ⅰ）∵橢圓的離心率
∴............................1分
解得............................2分
故橢圓的方程為.................3分
（Ⅱ）聯立方程可得：得.........................5分
即的坐標分別為........................6分
∵圓的直徑為，且與軸相切
∴，得（∵）............8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，
的面積......................9分

=1...................10分
當且僅當即時，等號成立.....................11分
故的面積的最大值為1..................12分
考點：橢圓的簡單性質；圓的簡單性質；直線與橢圓的綜合應用；基本不等式。
點評：充分理解圓C與y軸相切的含義是做本題的關鍵。要滿足圓C與y軸相切也就是滿足M點的縱坐標與橫坐標相等。