Question

已知以AB為直徑的半圓有一個內接正方形CDEF，其邊長為1（如圖）設AC=a，BC=b，作數列u₁=a-b，u₂=a²-ab+b²，u₃=a³-a²b+ab²-b³，…，u_k=a^k-a^k-1b+a^k-2b²-…+（-1）^kb^k；
求證：u_n=u_n-1+u_n-2（n≥3）．

Answer 1

【答案】分析：要證u_n=u_n-1+u_n-2（n≥3），利用題目中給出的信息先求出通項u_n，然后利用圓中直角三角形的幾何性質建立u_n，u_n-1，u_n-2三者的關系，即可得證．
解答：證明：通項公式可寫成
u_k=a^k-a^k-1b+a^k-2b²-+（-1）^kb^k=
因a-b=AC-BC=AC-AF=FC=1，
ab=AC•BC=CD²=1．
故得，n≥3
=
=，

=
于是有．n≥3
點評：本題是個中檔題，主要考查了由數列遞推式求數列的通項，以及證明等式的方法，在證明過程中注意幾何圖形的幾何性質的應用．