Question

【題目】設函數fk（x）=xk+bx+c（k∈N* ， b，c∈R），g（x）=logax（a＞0，a≠1）．
（1）若b+c=1，且fk（1）=g（ ），求a的值；
（2）若k=2，記函數fk（x）在[﹣1，1]上的最大值為M，最小值為m，求M﹣m≤4時的b的取值范圍；
（3）判斷是否存在大于1的實數a，使得對任意x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]滿足等式：g（x1）+g（x2）=p，且滿足該等式的常數p的取值唯一？若存在，求出所有符合條件的a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵b+c=1，且f（1）=g（ ），∴1+b+c= ，∴a=
（2）解：k=2時，f（x）=x2+bx+c，所以

當對稱軸x=﹣ ≤﹣1，即b≥2時，M=f（1）=1+b+c，m=f（﹣1）=1﹣b+c，M﹣m=2b≤4，解得b≤2，∴b=2．

當對稱軸﹣1＜﹣ ≤0，即0≤b＜2時，M=f（1）=1+b+c，m=f（﹣ ）=c﹣ ，M﹣m=b+1+ ≤4，解得﹣6≤b≤2，∴0≤b＜2．

當對稱軸0＜﹣ ＜1，即﹣2≤b＜0時，M=f（﹣1）=1﹣b+c，m=f（﹣ ）=c﹣ ，M﹣m=1﹣b+ ≤4，解得﹣2≤b≤6，∴﹣2＜b＜0．

當對稱軸﹣ ≥1，即b≤﹣2時，M=f（﹣1）=1﹣b+c，m=f（1）=1+b+c，M﹣m=﹣2b≤4，解得b≥﹣2，∴b=﹣2．

綜上所述：b的取值范圍是﹣2≤b≤2

（3）解：將等式g（x1）+g（x2）=p變形得g（x1）=p﹣g（x2），由任意實數x1∈[a，2a]，都有x2∈[a，a2]得到[logaa，loga（2a）][p﹣ ，p﹣logaa]，

即[1，1+loga2][p﹣2，p﹣1]，

∴ ，解得2+loga2=3，∴a=2

【解析】（1）代入得到關于a的方程解之；（2）k=2，說明函數是二次函數，討論對稱軸x=﹣ 與區間的位置關系，確定最值，得到關于b的方程，解之；（3）將等式g（x1）g（x2）=p變形得g（x1）=p﹣g（x2），由x1 ， x2的范圍，得到g（x1）、g（x2）的范圍，利用對任意實數x1∈[a，2a]，
都有x2∈[a，a2]得到[logaa，loga（2a）][p﹣ ，p﹣logaa]解得即可．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．