Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）證明 PA∥平面EDB；
（2）證明PB⊥平面EFD；
（3）求V_B-EFD．

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的判定定理證明線面平行．
（2）利用線面垂直的判定定理證明．
（3）利用錐體的體積公式求體積．

解答：解：（1）連結AC，交BD于O，連結EO，
因為ABCD是正方形，點O是AC的中點，在三角形PAF中，EO是中位線，
所以PA∥EO，而EO?面EDB，且PA?面EDB，所以PA∥平面EDB；
（2）因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DC
在底面正方形中，DC⊥BC，
所以BC⊥面PDC，而DE?面PDC，
所以BC⊥DE，
又PD=DC，E是PC的中點，所以DE⊥PC，
所以DE⊥面PBC，而PB?面PBC，
所以DE⊥PB，
又EF⊥PB，且DE∩EF=E，
所以PB⊥平面EFD．
（3）因為PD=DC=2，所以PC=2

2

，PB=2

3

，PE=

2

，
因為

EF

PE

=

BC

PB

，所以

EF

2

=

2

2 3

，
即EF=

6

3

，PF=

2 3

3

，FB=2

3

-

2 3

3

=

4 3

3

，
DF=

BD2-PF2

=

2 6

3

，
所以VB-EFD=

1

3

×

1

2

BF?DF?EF=

1

3

×

1

2

×

4 3

3

×

2 6

3

×

6

3

=

8 3

27

．

點評：本題主要考查線面平行和線面垂直的判定，要求熟練掌握相應的判定定理．