Question

已知直線l₁：x-3y+10=0與l₂：2x+y-8=0相交于點A，點O為坐標原點．P為線段OA的中點．
（Ⅰ）求點P的坐標；
（Ⅱ）過點P作直線l分別交直線l₁，l₂于B，C兩點，若△ABC為直角三角形，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過聯立方程組求出直線的交點坐標，利用中點坐標公式求點P的坐標；
（Ⅱ）過點P作直線l分別交直線l₁，l₂于B，C兩點，若△ABC為直角三角形，求直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知

x-3y+10=0 2x+y-8=0

，解得

x=2 y=4

，所以A（2，4），P為線段OA的中點，
所以點P的坐標（1，2）；
（Ⅱ）過點P作直線l分別交直線l₁，l₂于B，C兩點，若△ABC為直角三角形，因為已知直線不垂直，所以PB⊥l₁或PC⊥AC
當PB⊥l₁，直線l的斜率為：-3，所求直線l的方程為：y-2=-3（x-1），即3x+y-5=0．
當PB⊥l₂，直線l的斜率為：

1

2

，所求直線l的方程為：y-2=

1

2

（x-1），即x-2y+3=0．

點評：本題考查直線方程的求法，直線的交點，兩條直線的垂直關系的應用，考查計算能力．