Question

有一數列{a_n}，a₁=a，由遞推公式a_n+1=

2an

1+an

，寫出這個數列的前4項，并根據前4項觀察規律，寫出該數列的一個通項公式．

Answer 1

分析：可根據遞推公式寫出數列的前4項，然后分析每一項與該項的序號之間的關系，歸納概括出a_n與n之間的一般規律，從而作出猜想，寫出滿足前4項的該數列的一個通項公式．

解答：解：∵a₁=a，a_n+1=

2an

1+an

，∴a₂=

2a

1+a

，
a₃=

2a2

1+a2

=

4a 1+a

1+ 2a 1+a

=

4a

1+3a

，
a₄=

2a3

1+a3

=

8a 1+3a

1+ 4a 1+3a

=

8a

1+7a

．
觀察規律：a_n=

xa

1+ya

形式，其中x與n的關系可由n=1，2，3，4得出x=2^n-1．而y比x小1，
∴a_n=

2n-1a

1+(2n-1-1)a

．

點評：從特殊的事例，通過分析、歸納、抽象總結出一般規律，再進行科學地證明，這是創新意識的具體體現，這種探索問題的方法，在解數列的有關問題中經常用到，應引起足夠的重視．