Question

四面體D-ABC，中，AB=BC，在側面DAC中，中線AN⊥中線DM，且DB⊥AN．
（1）求證：平面ACD⊥平面ABC；
（2）若AN=4，DM=3，BD=5，求四面體D-ABC的體積．

Answer 1

解：（1）∵AN⊥DM，AN⊥DB且DB∩DM=D，
∴AN⊥平面BDM，
∵BM?平面BDM，∴AN⊥BM
又∵△ABC中，AB=BC且M為AC中點，∴AC⊥BM
∵AN、AC是平面ACN內的相交直線，∴BM⊥平面ACD，
∵BM?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD
（2）連接MN，
∵四邊形ADNM中，對角線AN、DM互相垂直，AN=4，DM=3，
∴四邊形ADNM面積S=AN×DM=6
∵MN是△ACD的中位線，
∴△CMN∽△CAD，得S_△CMN=S_△CAD，
因此四邊形ADNM面積等于S_△CAD=6，得S_△CAD=8
∵BM⊥平面ACD，得DM⊥BM
∴Rt△BDM中，BM==4
所以四面體D-ABC的體積V=V_B-ACD=S_△CAD×BM=．
分析：（1）根據線面垂直的判定定理，得AN⊥平面BDM，所以AN⊥BM．而等腰△ABC中AC⊥BM，所以BM⊥平面ACD，最后根據面面垂直判定定理，得平面ABC⊥平面ACD；
（2）根據四邊形ADNM中，對角線AN、DM互相垂直，得出S_ADNM=S_△CAD=6，得S_△CAD=8．用勾股定理算出BM的長，最后根據BM⊥平面ACD，結合錐體體積公式，可算出四面體D-ABC的體積．
點評：本題給出特殊四面體，求證面面垂直并求錐體體積，著重考查了線面垂直、面面垂直的判定與性質和面積體積公式等知識，屬于中檔題．