Question

已知（如圖）在正三棱柱（底面正三角形，側棱垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁中，若AB=AA₁=4，點D是AA₁的中點，點P是BC₁中點
（1）證明DP與平面ABC平行．
（2）是否存在平面ABC上經過C點的直線與DB垂直，如果存在請證明；若不存在，請說明理由．
（3）求四棱錐C₁-A₁B₁BD的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖所示，取BC得中點M，連接PM，DP．利用三角形的中位線定理可得PM∥CC₁，，又AD=，．可得．
得到四邊形AMPD是平行四邊形，于是DP∥AM．利用線面平行的判定定理可得DP∥平面ABC．
（2）存在平面ABC上經過C點的直線與DB垂直．取線段AB的中點E，連接CE，由△ABC是正三角形，可得CE⊥AB．
由正三棱柱（底面正三角形，側棱垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁中，可得側面ABB₁A₁⊥底面ABC，利用面面垂直的性質定理可得CE⊥側面ABB₁A₁，
進而得到CE⊥BD．
（3）由（2）可知：CE⊥側面ABB₁A₁，而CC₁∥平面ABB₁A₁，可得CE是四棱錐C₁-A₁B₁BD的高，
利用正△ABC的邊長=4，可得高CE=2．利用梯形的面積計算公式可得，再利用四棱錐C₁-A₁B₁BD的體積V=即可．
解答：證明：（1）如圖所示，取BC得中點M，連接PM，DP．
∵P是BC₁中點，∴PM∥CC₁，，
又AD=，．
∴．
∴四邊形AMPD是平行四邊形，∴DP∥AM．
DP?平面ABC，AM?平面ABC，
∴DP∥平面ABC．
（2）存在平面ABC上經過C點的直線與DB垂直．證明如下：
取線段AB的中點E，連接CE，∵△ABC是正三角形，∴CE⊥AB．
由正三棱柱（底面正三角形，側棱垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁中，可得側面ABB₁A₁⊥底面ABC，
∴CE⊥側面ABB₁A₁，
∴CE⊥BD．
（3）由（2）可知：CE⊥側面ABB₁A₁，而CC₁∥平面ABB₁A₁，∴CE是四棱錐C₁-A₁B₁BD的高，
∵正△ABC的邊長=4，∴高CE=2．
又==12，
∴四棱錐C₁-A₁B₁BD的體積V===．
點評：本題綜合考查了正三棱柱的性質、線面平行于垂直的位置關系、面面垂直的性質、三角形的中位線定理、平行四邊形的性質、四棱錐的體積計算公式等基礎知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力．