Question

在實數(shù)范圍內(nèi)解不等式：5^x≥4^x+1．并利用解此題的方法證明：3^x+4^x=5^x有唯一解．

Answer 1

解：由5^x≥4^x+1得，顯然是減函數(shù)，又當(dāng)x=1時，即f（1）=1；當(dāng)x＞1時，；不等式的解集為{x|x≤1}．
由方程3^x+4^x=5^x得，，顯然函數(shù)是減函數(shù)，又當(dāng)x=2時，，當(dāng)x＜2時，，當(dāng)x＞2時，，方程3^x+4^x=5^x有唯一解．
分析：將5^x≥4^x+1化為，利用是減函數(shù)的性質(zhì)，可求得不等式的解集，類比解此題的方法證明：3^x+4^x=5^x有唯一解．
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，難點在于將5^x≥4^x+1化為，并構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的單調(diào)性解決問題，屬于難題．