Question

(13分)一個同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植綠色灌木，周圍的圓環分為n(n≥3，n∈N)等份，種植紅、黃、藍三色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花.
⑴ 如圖1，圓環分成的3等份為a₁，a₂，a₃，有多少不同的種植方法？
如圖2，圓環分成的4等份為a₁，a₂，a₃，a₄，有多少不同的種植方法？
⑵ 如圖3，圓環分成的n等份為a₁，a₂，a₃，……，a_n，有多少不同的種植方法？

Answer 1

)⑴如圖1，先對a₁部分種植，有3種不同的種法，再對a₂、a₃種植，
因為a₂、a₃與a₁不同顏色，a₂、a₃也不同。 所以S（3）=3×2=6（種）。
如圖2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（種）。
⑵

本試題主要考查了排列組合的運用，解決實際問題，同時也考查了數列的求和的運用，數列的概念的綜合試題。
（1）先對a₁部分種植，有3種不同的種法，再對a₂、a₃種植，
因為a₂、a₃與a₁不同顏色，a₂、a₃也不同。 所以S（3）=3×2=6（種）。………3分
如圖2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（種）
（2）圓環分為n等份，對a₁有3種不同的種法，對a₂、a₃、…、a_n都有兩種不同的種法，但這樣的種法只能保證a₁與a_i（i=2、3、……、n－1）不同顏色，但不能保證a₁與a_n不同顏色.
于是一類是a_n與a₁不同色的種法，這是符合要求的種法，記為種. 另一類是a_n與a₁同色的種法，這時可以把a_n與a₁看成一部分，這樣的種法相當于對n－1部分符合要求的種法，記為.共有3×2^n－1種種法
因此可得到，進而分析求解。
)⑴如圖1，先對a₁部分種植，有3種不同的種法，再對a₂、a₃種植，
因為a₂、a₃與a₁不同顏色，a₂、a₃也不同。 所以S（3）=3×2=6（種）。………3分
如圖2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（種）。………………………………………6分
⑵如圖3，圓環分為n等份，對a₁有3種不同的種法，對a₂、a₃、…、a_n都有兩種不同的種法，但這樣的種法只能保證a₁與a_i（i=2、3、……、n－1）不同顏色，但不能保證a₁與a_n不同顏色.
于是一類是a_n與a₁不同色的種法，這是符合要求的種法，記為種. 另一類是a_n與a₁同色的種法，這時可以把a_n與a₁看成一部分，這樣的種法相當于對n－1部分符合要求的種法，記為.
共有3×2^n－1種種法.………………………………………………………………9分
這樣就有.即，
則數列是首項為公比為－1的等比數列.……………10分
則
由⑴知：，∴.
∴.………………………………………………………12分
答：符合要求的不同種法有……………………………13分