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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
當兩個向量
a
b
不共線時,求證:
(1)|
a
|-|
b
|
|
a
+
b
|
|
a
| + |
b
|
;(2)|
a
|-|
b
|
|
a
-
b
|
|
a
| + |
b
|
分析:(1)|如圖:設
a
=
OA
b
=
OB
,△ABC中,由AO-AC<OC,可得 |
a
|-|
b
|
|
a
+
b
|

由 OC<AO+AC 可得 |
a
+
b
|
|
a
| + |
b
|

(2)△AOB中,由OA-OB<AB,可得 |
a
|-|
b
|
|
a
-
b
|
; 由AB<OA+OB 可得 |
a
-
b
|
|
a
| + |
b
|
解答:證明:(1)|如圖所示:設
a
=
OA
b
=
OB
,以OA、OB為鄰邊作一個平行四邊形OACB,
則 
OC
=
a
+
b
BA
=
a
-
b
.△ABC中,∵AO-AC<OC,∴|
a
|-|
b
|
|
a
+
b
|

∵OC<AO+AC∴|
a
+
b
|
|
a
| + |
b
|

綜上,|
a
|-|
b
|
|
a
+
b
|
|
a
| + |
b
|
  成立.
(2)△AOB中,∵OA-OB<AB,∴|
a
|-|
b
|
|
a
-
b
|

∵AB<OA+OB,∴|
a
-
b
|
|
a
| + |
b
|
,綜上,
有   |
a
|-|
b
|
|
a
-
b
|
|
a
| + |
b
|
  成立.

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點評:本題考查兩個向量的和差的運算及其幾何意義,三角形中,任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊,
體現了數形結合的數學思想.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知兩個不共線的向量
a
b
滿足
a
=(1,
3
),
b
=(cosθ,sinθ)(θ∈R)

(1)若2
a
-
b
a
-7
b
垂直,求向量
a
b
的夾角;
(2)當θ∈[0,
π
2
]
時,若存在兩個不同的θ使得|
a
+
3
b
|=|m
a
|
成立,求正數m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

e1,e2是兩個不共線的向量,則向量a=2e1-e2與向量b=e1e2(λ∈R)共線,當且僅當λ的值為…(    )

A.0           B.-1                C.-2              D.-

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科目:高中數學 來源: 題型:單選題

設a、b是兩個向量,則不等式|a+b|<|a|+|b|僅當


  1. A.
    a與b共線時成立
  2. B.
    a與b不共線時成立
  3. C.
    a與b反向共線時成立
  4. D.
    a與b不共線,或a與b均非零且反向共線時成立

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知a、b是兩個非零向量,當a+tb(t∈R)的模取最小值時,

(1)求t的值;

(2)已知a與b不共線,求證:b與a+tb垂直.

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同步練習冊答案
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