Question

【題目】設(shè)fk（n）為關(guān)于n的k（k∈N）次多項(xiàng)式．?dāng)?shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn ． 對(duì)于任意的正整數(shù)n，an+Sn=fk（n）都成立． （Ⅰ）若k=0，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）試確定所有的自然數(shù)k，使得數(shù)列{an}能成等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：若k=0，則fk（n）即f0（n）為常數(shù)， 不妨設(shè)f0（n）=c（c為常數(shù)）．
因?yàn)閍n+Sn=fk（n）恒成立，所以a1+S1=c，c=2a1=2．
而且當(dāng)n≥2時(shí)，
an+Sn=2，①
an﹣1+Sn﹣1=2，②
①﹣②得 2an﹣an﹣1=0（n∈N，n≥2）．
若an=0，則an﹣1=0，…，a1=0，與已知矛盾，所以an≠0（n∈N*）．
故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為 的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：（1）若k=0，由（Ⅰ）知，不符題意，舍去．
⑵若k=1，設(shè)f1（n）=bn+c（b，c為常數(shù)），
當(dāng)n≥2時(shí)，an+Sn=bn+c，③
an﹣1+Sn﹣1=b（n﹣1）+c，④
③﹣④得 2an﹣an﹣1=b（n∈N，n≥2）．
要使數(shù)列{an}是公差為d（d為常數(shù)）的等差數(shù)列，
必須有an=b﹣d（常數(shù)），
而a1=1，故{an}只能是常數(shù)數(shù)列，通項(xiàng)公式為an=1（n∈N*），
故當(dāng)k=1時(shí)，數(shù)列{an}能成等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為an=1（n∈N*），
此時(shí)f1（n）=n+1．
⑶若k=2，設(shè)f2（n）=pn2+qn+t（a≠0，a，b，c是常數(shù)），
當(dāng)n≥2時(shí)，
an+Sn=pn2+qn+t，⑤
an﹣1+Sn﹣1=p（n﹣1）2+q（n﹣1）+t，⑥
⑤﹣⑥得 2an﹣an﹣1=2pn+q﹣p（n∈N，n≥2），
要使數(shù)列{an}是公差為d（d為常數(shù)）的等差數(shù)列，
必須有an=2pn+q﹣p﹣d，且d=2p，
考慮到a1=1，所以an=1+（n﹣1）2p=2pn﹣2p+1（n∈N*）．
故當(dāng)k=2時(shí)，數(shù)列{an}能成等差數(shù)列，
其通項(xiàng)公式為an=2pn﹣2p+1（n∈N*），
此時(shí)f2（n）=an2+（a+1）n+1﹣2a（a為非零常數(shù)）．
⑷當(dāng)k≥3時(shí)，若數(shù)列{an}能成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知Sn是關(guān)于n的二次型函數(shù)，
則an+Sn的表達(dá)式中n的最高次數(shù)為2，
故數(shù)列{an}不能成等差數(shù)列．
綜上得，當(dāng)且僅當(dāng)k=1或2時(shí)，數(shù)列{an}能成等差數(shù)列
【解析】（Ⅰ）若k=0，不妨設(shè)f0（n）=c（c為常數(shù)）．即an+Sn=c，結(jié)合數(shù)列中an與 Sn關(guān)系 求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式后再證明．（Ⅱ）由特殊到一般，實(shí)質(zhì)上是由已知an+Sn=fk（n） 考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解，以及等差數(shù)列的判定．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等差關(guān)系的確定和等比關(guān)系的確定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列；等比數(shù)列可以通過定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷才能正確解答此題．