Question

已知等比數列{a_n}中，a₁=2，a₄=16
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若a₃，a₅分別為等差數列{b_n}的第3項和第5項，求數列{b_n}的通項公式及前n項和S_n；
（3）將{b_n}中的第2項，第4項，…，第2ⁿ項按原來的順序排成一個新數列{c_n}，求此數列的前n項和G_n．

Answer 1

分析：（1）等比數列{a_n}中，a₁=2，a₄=16，求出公比q=2，由此能求出a_n=2ⁿ．
（2）由a_n=2ⁿ和a₃，a₅分別為等差數列{b_n}的第3項和第5項，知b₃=8，b₅=32，由此求出等差數列的首項和公差，由此能求出b_n和S_n．
（3）由{b_n}中的第2項，第4項，…，第2ⁿ項按原來的順序排成一個新數列{c_n}，知c_n=12•2ⁿ-28．由此能求出G_n．

解答：解：（1）等比數列{a_n}中，a₁=2，a₄=16，
設{a_n}的公比為q，則a4=a1q3=2q³=16，解得q=2，
∴a_n=2ⁿ．
（2）∵a_n=2ⁿ，∴a₃=8，a₅=32，
∵a₃，a₅分別為等差數列{b_n}的第3項和第5項，
∴b₃=8，b₅=32，
∴

b1+2d=8 b1+4d=32

，解得

b1=-16 d=12

，
∴b_n=-16+12（n-1）=12n-28，
S_n=

n(-16+12n-28)

2

=6n²-22n．
（3）∵{b_n}中的第2項，第4項，…，第2ⁿ項按原來的順序排成一個新數列{c_n}，
∴c_n=12•2ⁿ-28．
∴G_n=12（2+2²+2³+…+2ⁿ）-28n=24（2ⁿ-1）-28n．

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，注意等差數列和等比數列的性質的合理運用．