Question

給出下列4個命題：
①0＜a≤

1

5

是f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上為單調減函數的充要條件；
②函數f（x）=

e-x+3

e-x+2

（e是自然對數的底數）的最小值為2；
③y=f（x）與它的反函數y=f^-1（x）的圖象若相交，則交點必在直線y=x上；
④若α∈（π，

5π

4

），則

1

1-tanα

＞1+tanα＞

2tanα

；
其中所有假命題的代號有

①②③

．

Answer 1

分析：①由函數f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上為單調減函數，分a=0和a＞0兩種情況來討論，可求得0≤a≤

1

5

，由此可知①是假命題；
②由均值不等式可判斷出不存在實數x使得等號成立，故函數f（x）不存在最小值；
③舉反例：如指數函數y=(

1

16

)x的圖象與對數函數y=log

1

16

x的圖象的交點有P（

1

2

，

1

4

）、Q（

1

4

，

1

2

）就是不在直線y=x上的兩個交點，由此可知原結論不正確；
④由α∈（π，

5π

4

），可知0＜tanα＜1，可得（1-tanα）（1+tan）=1-tan²α＜1，于是

1

1-tanα

＞1+tanα；再根據均值不等式可得1+tanα＞

tanα

．
故④是真命題．

解答：解：①由函數f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上為單調減函數，可得a=0或

a＞0 4≤- 2(a-1) 2a

即0≤a≤

1

5

，據此可知0＜a≤

1

5

是函數f（x）=ax²+2（a-1）x+2在區間（-∞，4]上為單調減函數的充分不必要條件，因此①是假命題；
②由均值不等式函數f（x）=

e-x+3

e-x+2

=

e-x+2

+

1

e-x+2

≥2，由e^-x+2=1知不存在實數x使得等號成立，故函數f（x）不存在最小值；
③舉例：如指數函數y=(

1

16

)x的圖象與對數函數y=log

1

16

x的圖象的交點有P（

1

2

，

1

4

）、Q（

1

4

，

1

2

）就是不在直線y=x上的兩個交點，由此可知原結論不正確；
④∵α∈（π，

5π

4

），∴0＜tanα＜1，∴1-tanα＞0，（1-tanα）（1+tanα）=1-tan²α＜1，

1

1-tanα

＞1+tanα＞

2tanα

．
故假命題是①②③．
故答案為①②③．

點評：此題綜合考查了函數的單調性、最值，均值不等式，反函數等有關知識．