Question

（本題滿分12分）在正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E為CC₁的中點．

（1）求證：AC₁∥平面BDE；（2）求異面直線A₁E與BD所成角。

Answer 1

（1）連結AC交BD于O，連接EO因為平行四邊形ABCD，
由OE為△AC₁C中位線，得出OE∥AC₁；從而AC₁∥面BDE。
（2）先證BD⊥面A₁AC C₁
證得BD⊥A₁E，A₁E與BD所成角為90⁰。

試題分析：（1）連結AC交BD于O，連接EO因為平行四邊形ABCD，
所以O為BD中點，E為CC₁中點
所以OE為△AC₁C中位線，
所以OE∥AC₁-----------3
OE面BDE
AC₁面BDE
AC₁∥面BDE------------6
（2）因正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁
所以BD⊥A₁A，又因BD⊥AC
A₁A∩AC="A" ，A₁A 面A₁AC C₁

B

AC面A₁AC C₁

所以BD⊥面A₁AC C₁                           --------9
A₁E面A₁AC C₁
所以BD⊥A₁E-
A₁E與BD所成角為90⁰------12
點評：本題通過考查直線與平面的垂直關系及異面直線所成角的計算，考查空間想像能力、推理論證能力、運算求解能力、考查化歸與轉化思想，函數與方程思想等．本題中異面直線所成角的確定，通過證明線面垂直完成，值得深思。屬中檔題。