Question

在直角坐標系xOy中，以O為圓心的圓與直線x-

3

y=4相切．
（1）求圓O的方程；
（2）圓O與x軸相交于A、B兩點，圓內(nèi)的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，求

PA

•

PB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可知圓是圓心在原點的標準方程，由切線可直接求得半徑，即得到圓的方程．
（2）根據(jù)圓內(nèi)的動點P使|PA|、|PO|、|PB|成等比數(shù)列，列出方程，再根據(jù)點P在圓內(nèi)求出取值范圍．

解答：解：（1）依題設，圓O的半徑r等于原點O到直線x-

3

y=4的距離，
即r=

4

1+3

=2．
得圓O的方程為x²+y²=4．
（2）不妨設A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂．由x²=4即得A（-2，0），B（2，0）．
設P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，得

(x+2)2+y2

•

(x-2)2+y2

=x^₂+y^₂，
即x²-y²=2．

PA

•

PB

=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²-4+y²=2（y²-1）．
由于點P在圓O內(nèi)，故

x2+y2＜4 x2-y2=2

由此得y²＜1．
所以

PA

•

PB

的取值范圍為[-2，0）．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，屬于中檔題．