Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD，且 PB=PC= ．
（Ⅰ）求證：AB⊥CP；
（Ⅱ）求點B到平面PAD的距離；
（Ⅲ）設面PAD與面PBC的交線為l，求二面角A﹣l﹣B的大小．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥BC， 又平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC
∴AB⊥平面PBC
又PC平面PBC
∴AB⊥CP
（Ⅱ）解：∵BC∥AD，BC面PAD，AD面PAD，
∴BC∥面PAD
取BC中點O，再取AD中點M
∵AD⊥MO，AD⊥MP，MO∩MP=M
∴AD⊥面MOP，
∵AD面ADP
∴面ADP⊥面MOP
過點O作OH⊥PM，則OH⊥面ADP
在Rt△MPO中，由OHPM=POMO，可得OH=
∴點B到平面PAD的距離為 ．
（Ⅲ）解：∵BC∥AD，BC面PAD，AD面PAD，
∴BC∥面PAD
∵面PAD∩面PBC=l，BC面PBC
∴BC∥l
∴OP⊥l，MP⊥l
∴∠MPO就是二面角A﹣l﹣B的平面角．
∴tan∠MPO= =1
∴∠MPO=45°
∴二面角A﹣l﹣B的大小為45°．

【解析】（Ⅰ）利用面面垂直的性質證明AB⊥平面PBC，從而可證AB⊥CP；（Ⅱ）取BC中點O，再取AD中點M，過點O作OH⊥PM，則OH⊥面ADP，利用等面積，即可求點B到平面PAD的距離；（Ⅲ）證明∠MPO就是二面角A﹣l﹣B的平面角，從而可求二面角A﹣l﹣B的大小．