Question

（2012•珠海二模）如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CC₁=4，AB=BC=3．
（1）若E、F分別是BC₁、A₁C₁中點，求證：EF∥平面DCC₁；
（2）求二面角A₁-BC₁-D的正弦值．

Answer 1

分析：（I）連接D₁B₁，B₁C，利用長方體的性質可得E、F分別是B₁D₁和B₁C的中點，再利用三角形的中位線定理可得EF∥D₁C．利用線面平行的判定定理即可證明；
（II）通過建立空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角．

解答：（Ⅰ）證明：連接D₁B₁，B₁C，則長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC₁∩B₁C=E，D₁B₁∩A₁C₁=F，
∴E、F分別是B₁D₁和B₁C的中點
∴EF∥D₁C．又EF?平面DCC₁；D₁C?平面DCC₁；
∴EF∥平面DCC₁；
（Ⅱ）解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則D（0，0，0），B（3，3，0），C₁（0，3，4），A₁（3，0，4）．
∴

BC1

=（-3，0，4），

DB

=（3，3，0），

A1C1

=（-3，3，0）．
設平面DBC₁的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，則

n1 • DB =3x1+3y1=0 n1 • BC1 =-3x1+4z1=0

，取x₁=4，解得y₁=-4，z₁=3，∴

n1

=（4，-4，3）；
設平面A₁BC₁的法向量為

n2

=（x₂，y₂，z₂），則

n2 • BC1 =-3x2+4z2=0 n2 • A1C1 =-3x2+3y2=0

，取x₂=4，解得y₂=4，z₂=3，∴

n2

=（4，4，3）；
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 | | n2 |

=

9

41

，
設二面角A₁-BC₁-D的大小為θ，則sinθ=

1-( 9 41 )2

=

40

41

．
即二面角A₁-BC₁-D的正弦值為

40

41

．

點評：本題綜合考查了長方體的性質、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理、通過距離空間直角坐標系利用法向量的夾角求二面角等基礎知識與基本技能，考查了空間想象能力、推理能力和計算能力．