Question

已知圓錐曲線C上任意一點到兩定點F₁（-1，0）、F₂（1，0）的距離之和為常數，曲線C的離心率e=

1

2

．
（1）求圓錐曲線C的方程；
（2）設經過點F₂的任意一條直線與圓錐曲線C相交于A、B，試證明在x軸上存在一個定點P，使

PA

•

PB

的值是常數．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓的定義判斷出圓錐曲線C是橢圓，得到橢圓中的參數c的值，再根據離心率的公式求出參數a，利用三個參數的關系求出b，寫出橢圓的方程．
（2）假設存在點p，分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，當斜率存在時，將直線的方程與橢圓的方程聯立，利用韋達定理得到交點的坐標滿足的關系，利用交點坐標表示出

PA

•

PB

，要使其為常數，令分子、分母的對應項的系數成比例，求出p的坐標，當直線的斜率不存在時將p的坐標代入檢驗即可．

解答：解：（1）依題意，設曲線C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∴c=1，
∵e=

c

a

=

1

2

，
∴a=2，
∴b=

a2-c2

=

3

，
所求方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）當直線AB不與x軸垂直時，設其方程為y=k（x-1），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

，
得（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，
從而xA+xB=

8k2

3+4k2

，xA•xB=

4(k2-3)

3+4k2

，
設P（t，0），則

PA

•

PB

=(xA-t)(xB-t)+yAyB=(k2+1)xAxB-(t+k2)(xA+xB)+(k2+t2)=

3t2-12+(-5-8t+4t2)k2

3+4k2

當

3t2-12

3

=

-5-8t+4t2

4

，
解得t=

11

8

此時對?k∈R，

PA

•

PB

=-

135

64

；
當AB⊥x軸時，直線AB的方程為x=1，
x_A=x_B=1，yA(yB)=±

3

2

，
對t=

11

8

，

PA

•

PB

=(xA-t)(xB-t)+yAyB=

9

64

-

9

4

=-

135

64

，
即存在x軸上的點P(

11

8

，0)，使

PA

•

PB

的值為常數-

135

64

．

點評：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數法，注意橢圓中三個參數a，b，c的關系滿足a²=b²+c²；解決直線與圓錐曲線的關系問題，一般是將直線的方程與圓錐曲線的方程聯立得到二次方程，利用韋達定理找突破口．