Question

已知函數f(x)=

a2x+1

3x-1

(a∈N)，方程f（x）=-2x+7有兩個根x₁，x₂，且x₁＜1＜x₂＜3．
（1）求自然數a的值及f（x）的解析式；
（2）記等差數列{a_n}和等差數列{b_n}的前n項和分別為S_n和T_n，且

Sn

Tn

=f(n)，(n∈N*)，設g(n)=

an

bn

，求g（n）的解析式及g（n）的最大值；
（3）在（2）小題的條件下，若a₁=10，寫出數列{a_n}和{b_n}的通項，并探究在數列{a_n}和{b_n}中是否存在相等的項？若有，求這些相等項從小到大排列所成數列{c_n}的通項公式；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由方程f（x）=-2x+76可以化簡為：x²+（a²-23）x+8=0，令h（x）=6x²+（a²-23）x+8，再結合二次函數的性質可得a=2，進而求出函數的解析式．
（2）由等差數列的性質可得：g(n)=

(2n-1)(a1+a2n-1)

(2n-1)(b1+b2n-1)

=

S2n-1

T2n-1

=f(2n-1)，即可求出函數g（n）的表達式，進而利用函數的有關性質求出其最大值．
（3）

an

bn

=

8n-3

6n-4

，由

a1

b1

=

5

2

，a1=10?b1=4，再利用（2）中的解析式與等差數列的性質可得兩個數列的通項公式，進而假設存在相等的項a_k=b_p，可得矛盾即可得到答案．

解答：解：（1）由

a2x+1

3x-1

=-2x+7得：6x²+（a²-23）x+8=0；
令h（x）=6x²+（a²-23）x+8，由x₁＜1＜x₂＜3得：

h(1)=a2-9＜0 h(3)=3a2-7＞0

?

7

3

＜a2＜9，
又a∈N，所以有：a=2；…（5分）
所以f(x)=

4x+1

3x-1

；　　　　　　…（6分）
（2）g(n)=

an

bn

，并且結合等差數列的性質可得：
g(n)=

(2n-1)(a1+a2n-1)

(2n-1)(b1+b2n-1)

=

S2n-1

T2n-1

=f(2n-1)，
所以g(n)=

8n-3

6n-4

=

4

3

+

7

6(3n-2)

；…（8分）
并且g(n)max=g(1)=

5

2

．…（12分）
（3）

an

bn

=

8n-3

6n-4

，由

a1

b1

=

5

2

，a1=10?b1=4；　　　　　　　　　　…（13分）
設數列{a_n}和數列{b_n}的公差分別為d₁，d₂；
所以

a2 b2 = 10+d1 4+d2 = 13 8 a3 b3 = 10+2d1 4+2d2 = 21 14

?

d1=16 d2=12

?

an=10+(n-1)•16=16n-6 bn=4+(n-1)•12=12n-8

…（16分）
若存在相等的項a_k=b_p（k，p∈N^*），即16k-6=12p-8?6p-8k=1①
①式左邊為偶數，右邊為奇數，不可能成立，
故不存在滿足條件的數列{c_n}．…（18分）

點評：本題主要考查二次函數的有關性質與等差數列的有關性質，以及等差數列的通項公式、函數求最值等知識點．