Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，短軸長和焦距都等于2， 是橢圓上的一點，且在第一象限內，過且斜率等于的直線與橢圓交于另一點，點關于原點的對稱點為.

（Ⅰ）證明：直線的斜率為定值；

（Ⅱ）求面積的最大值，并求此時直線的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）, .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可設橢圓的方程為（），則，解方程即可得解；

（Ⅱ）因為關于原點對稱，所以，由（Ⅰ）可知的斜率，設方程為（且），與橢圓聯立得得，利用弦長公式和點到直線距離，結合韋達定理可得，即可得解.

試題解析：

（Ⅰ）由題意可設橢圓的方程為（），則，解得，所以的方程為.

設，則，所以的斜率，因為，所以， 因為 ，所以

（Ⅱ）因為關于原點對稱，所以，由（Ⅰ）可知的斜率，設方程為（且），到的距離.

由得，所以.

所以

當且僅當，即時等號成立，所以面積的最大值為

此時直線的方程為，即