Question

以橢圓的右焦點F₂為圓心作一個圓過橢圓的中心O并交于橢圓于M、N，若過橢圓左焦點F₁的直線MF₁是圓的切線，則橢圓的右準線l與圓F₂的位置關系是

相交

．

Answer 1

分析：先根據題意和橢圓定義可知|MF₂|=|OF₂|=c，|MF₁|+|MF₂|=2a，|F₁F₂|=2c 進而根據勾股定理建立等式求得e，利用圓心到直線的距離判斷直線與圓的位置關系．

解答：解：由題意得：|MF₂|=|OF₂|=c
|MF₁|+|MF₂|=2a
|F₁F₂|=2c
直角三角形MF₁F₂中
|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²
即（2a-c）²+c²=4c²
整理得2a²-2ac-c²=0
即e²+2e-2=0，解得e=

3

-1
圓心到橢圓的右準線l的距離為

a2

c

-c，圓的半徑為c
∴

a2

c

-c＜c
∴橢圓的右準線l與圓F₂相交
故答案為：相交

點評：本題以橢圓與圓為依托，考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查直線與圓的位置關系．考查學生分析問題、解決問題的能力．