Question

過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點A作斜率為1的直線l與橢圓的另一個交點為M，與y軸的交點為B，若AM=MB，則該橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

分析：易知左頂點A的坐標為（-a，0），從而設直線l的方程為：y=x+a，與y軸相交得到B（0．a），再由AM=MB知M為線段AB的中點得M（-

a

2

，

a

2

），最后由M在橢圓上求得a，c關系得到離心率．

解答：解：根據題意：左頂點A（-a，0），直線l的方程為：y=x+a
∴B（0．a），
又∵AM=MB
∴M（-

a

2

，

a

2

）
又∵M在橢圓上
∴

(- a 2 )2

a2

+

( a 2 )2

b2

=1
整理得：a²=3b²=3（a²-c²）
∴2a²=3c²
∴e=

6

3

故答案為：

6

3

．

點評：本題主要考查橢圓的頂點，離心率以及a，b，c間的轉化關系，同時還考查線與線的關系，點與橢圓的位置關系．