Question

設數列{a_n}是等比數列，a1=

C

3m2m+3

?

A

1m-2

，公比q是(x+

1

4x2

)4的展開式中的第二項（按x的降冪排列）．
（1）求a₁；
（2）用n，x表示數列{a_n}的通項a_n和前n項和S_n；
（3）若An=

C

1n

S1+

C

2n

S2+…+

C

nn

Sn，用n，x表示A_n．

Answer 1

（1）∵a₁=

C

3m2m+3

•

A

1m-2

，
∴

2m+3≥3m m-2≥1

?

m≤3 m≥3

∴m=3．…（2分）
∴a₁=

C

99

•

A

11

=1…（3分）．
（2）由(x+

1

4x2

)4知q=T₂=

C

14

x³•

1

4

•x^-2=x．（5分）
∴a_n=x^n-1，
∴S_n=

n(x=1) 1-xn 1-x (x≠1)

．…（6分）
（3）當x=1時，S_n=n．A_n=

C

1n

+2

C

2n

+3

C

3n

+…+n

C

nn

…①
而A_n=n

C

nn

+（n-1）

C

n-1n

+（n-2）

C

n-2n

+（n-3）

C

n-3n

+…+2

C

2n

+

C

1n

…②
又∵

C

0n

=

C

nn

，

C

1n

=

C

n-1n

，

C

2n

=

C

n-2n

，…
①②相加得2A_n=n（

C

0n

+

C

1n

+

C

2n

+

C

3n

+…+

C

nn

）=n•2ⁿ，
∴A_n=n•2^n-1…．（9分）
當x≠1時，S_n=

1-xn

1-x

，
A_n=

1

1-x

[（1-x）

C

1n

+（1-x²）

C

2n

+（1-x³）

C

3n

+…+（1-xⁿ）

C

nn

]
=

1

1-x

[（

C

0n

+

C

1n

+

C

2n

+

C

3n

+…+

C

nn

）-

C

0n

-（x

C

1n

+x²

C

2n

+…+xⁿ

C

nn

）]
=

1

1-x

[（2ⁿ-1）-（（1+x）ⁿ-1）]
=

1

1-x

[2ⁿ-（1+x）ⁿ]…．（11分）
∴An=

n•2n-1(x=1) 2n-(1+x)n 1-x (x≠1)

…．（12分）