Question

【題目】己知n為正整數(shù)，數(shù)列{an}滿足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn=
（1）求證：數(shù)列{ }為等比數(shù)列；
（2）若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值：
（3）若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn ， 對任意的n∈N* ， 均存在m∈N* ， 使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，求滿足條件的所有整數(shù)a1的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：數(shù)列{an}滿足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，

∴ = an+1，即 =2 ，

∴數(shù)列{ }是以a1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列

（2）解：由（1）可得： = ，∴ =n 4n﹣1．

∵bn= ，∴b1= ，b2= ，b3= ，

∵數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，∴2× = + ，

∴ = + ，

化為：16t=t2+48，解得t=12或4

（3）解：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，由（2）可得：t=12或4．

①t=12時(shí)，bn= = ，Sn= ，

∵對任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，

∴8 × ﹣a14n2=16× ，

∴ = ，n=1時(shí)，化為：﹣ = ＞0，無解，舍去．

②t=4時(shí)，bn= = ，Sn= ，

對任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12Sn﹣a14n2=16bm成立，

∴8 × ﹣a14n2=16× ，

∴n =4m，

∴a1=2 ．∵a1為正整數(shù)，∴ = k，k∈N*．

∴滿足條件的所有整數(shù)a1的值為{a1|a1=2 ，n∈N*，m∈N*，且 = k，k∈N*}

【解析】（1）數(shù)列{an}滿足an＞0，4（n+1）an2﹣nan+12=0，化為： =2× ，即可證明．（2）由（1）可得： = ，可得 =n 4n﹣1 ． 數(shù)列{bn}滿足bn= ，可得b1 ， b2 ， b3 ， 利用數(shù)列{bn}是等差數(shù)列即可得出t．（3）根據(jù)（2）的結(jié)果分情況討論t的值，化簡8a12Sn﹣a14n2=16bm ， 即可得出a1 ．