Question

設A(x_A,y_A)，B(x_B,y_B)為平面直角坐標系上的兩點,其中x_A,y_A,x_B,y_BÎZ.令△x=x_B-x_A，△y=y_B-y_A,若|△x|+|△y|=3，且|△x|·|△y|≠0,則稱點B為點A的“相關點”,記作：B=f(A).
(1)請問:點(0,0)的“相關點”有幾個?判斷這些點是否在同一個圓上,若在,寫出圓的方程；若不在，說明理由；
(2)已知點H(9,3),L(5,3),若點M滿足M=f(H),L=f(M),求點M的坐標；
(3)已知P₀(x₀,y₀)(x₀ÎZ,y₀ÎZ)為一個定點, 若點P_i滿足P_i=f (P_i-1),其中i=1,2,3,···,n，求|P₀P_n|的最小值．

Answer 1

（1）x²+y²=5
（2）M(7,2)或M(7,4).
（3）當時, |P₀P_n|的最小值為;
當n=2k,kÎN ^*時, |P₀P_n|的最小值為0；
當n=2k+1,kÎN ^*時, |P₀P_n|的最小值為1.

試題分析：解: (1)因為|△x|+|△y|=3(|△x|,|△y|為非零整數),
故|△x|=1,|△y|=2或|△x|=2,|△y|=1,所以點(0,0)的“相關點”有8個 .
又因為(△x)²+(△y)²=5,即(△x-0)²+(△y-0)²="5" .
所以這些可能值對應的點在以(0,0)為圓心,為半徑的圓上，
方程為x²+y²="5" .                     3分
(2)設M(x_M,y_M),
因為M=f(H),L=f(M),
所以有|x_M-9|+|y_M-3|="3," |x_M-5|+|y_M-3|=3,
所以|x_M-9|=|x_M-5|,所以x_M=7, y_M=2或y_M=4,
所以M(7,2)或M(7,4).                6分
(3) 當n=1時,可知|P₀P_n|的最小值為;
當n=2k,kÎN ^*時, |P₀P_n|的最小值為0 ;
當n=3時,對于點P,按照下面的方法選擇“相關點”,可得P₃(x₀,y₀+1):
P₀(x₀,y₀)→P₁(x₀+2,y₀+1)→P₂(x₀+1,y₀+3) →P₃(x₀,y₀+1)
故|P₀P_n|的最小值為1,
當n=2k+3, kÎN ^*時,對于點P,經過2k次變換回到初始點P₀(x₀,y₀),然后經過3次變換回到P_n(x₀,y₀+1),故|P₀P_n|的最小值為1.
綜上,當時, |P₀P_n|的最小值為;
當n=2k,kÎN ^*時, |P₀P_n|的最小值為0；
當n=2k+1,kÎN ^*時, |P₀P_n|的最小值為1.         10分
點評：主要是考查了圓的方程的求解，以及兩點距離的最值，屬于中檔題。