Question

已知銳角三角形ABC中，（14分）
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）設AB=3，求AB邊上的高

Answer 1

（1）sin(A+B)= ,sin(A-B)=
sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=
sin(A- B)=sinAcosB-sinBcosA=
兩式相加相減后可得：sinAcosB=，sinBcosA=
將兩式相除，可得tanA=2tanB
（2）∵△ABC是銳角三角形
∴0＜C＜
又A＋B＝π－C
∴＜A＋B＜π
∵sin(A＋B)＝3/5
∴cos(A＋B)＝＝－
則tan(A＋B)＝sin(A＋B)/cos(A＋B)＝－
即(tanA＋tanB)/(1－tanAtanB)＝－
又tanA＝2tanB
∴3tanB/(1－2tan²B)＝－
即2tan²B－4tanB－1＝0
解得tanB＝∵0＜B＜
∴tanB＝＝1＋

把已知的兩等式分別利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，將化簡后的兩等式組成方程組，兩方程相加相減可得出sinAcosB及cosAsinB的值，兩式相除并利用同角三角函數間的基本關系可得到tanA與tanB的關系，由三角形為銳角三角形，得到C的范圍，根據三角形的內角和定理得出A+B的范圍，由sin（A+B）的值，利用同角三角函數間的基本關系求出cos（A+B）的值，再利用同角三角函數間的基本關系弦化切求出tan（A+B）的值，然后利用兩角和與差的正切函數公式化簡tan（A+B），將得出的tanA的關系式代入得到關于tanB的方程，求出方程的解即可得到tanB的值．