Question

已知函數f（x）=log₂（x+1）．當點（x，y）在函數y=f（x）的圖象上運動時，點（

x

3

，

y

2

）在函數y=g（x）（x＞-

1

3

）的圖象上運動．
（1）求函數y=g（x）的解析式；
（2）求函數F（x）=f（x）-g（x）的零點．
（3）函數F（x）在x∈（0，1）上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值；若沒有請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把兩動點坐標分別代入兩函數解析式，然后利用換元法可求得g（x）；
（2）表示出F（x），問題轉化為求方程F（x）=0的根，注意函數定義域；
（3）可化為F（x）=log2

x+1

3x+1

=

1

2

log2

(x+1)2

3x+1

，設t=

(x+1)2

3x+1

，變形后進行換元，然后利用基本不等式可求得t的最值，從而可得F（x）的最值情況；

解答：解：（1）由點（x，y）在函數y=f（x）的圖象上運動，得y=log₂（x+1），
由點（

x

3

，

y

2

）在函數y=g（x）（x＞-

1

3

）的圖象上運動，得

y

2

=g(

x

3

)，
∴g(

x

3

)=

1

2

log₂（x+1），令t=

x

3

，∴x=3t，
∴g（t）=

1

2

log2(3t+1)，即g（x）=

1

2

log2(3x+1)；
（2）函數F（x）=f（x）-g（x）=log₂（x+1）-

1

2

log2(3x+1)，
令F（x）=0，有log₂（x+1）=

1

2

log2(3x+1)=log2

3x+1

，
∴

x+1＞0 3x+1＞0 x+1= 3x+1

，解得x=0或x=1，
∴函數F（x）的零點是x=0或x=1；
（3）函數F（x）=f（x）-g（x）=log₂（x+1）-

1

2

log2(3x+1)
=log2

x+1

3x+1

=

1

2

log2

(x+1)2

3x+1

，
設t=

(x+1)2

3x+1

=

1

9

•

(3x+3)2

3x+1

=

1

9

•

(3x+1)2+4(3x+1)+4

3x+1

=

1

9

(3x+1+

4

3x+1

+4)，
設m=3x+1，由x∈（0，1）得m∈（1，4），
函數m+

4

m

在（1，2]上遞減，在[2，4）上遞增，
當m=2時m+

4

m

有最小值4，無最大值，
∴t有最小值

8

9

，無最大值．
∴函數F（x）在x∈（0，1）內有最小值

1

2

log2

8

9

，無最大值．

點評：本題考查復合函數的單調性、對數函數的性質，考查基本不等式求函數最值，考查學生綜合運用知識解決問題的能力．