Question

已知函數f（x）=x²+lnx．
（I）已知α是方程xf（x）-x³=2009的根，β是方程xe^x=2009的根，求α•β的值．
（II）求證：在區間（1，+∞）上，函數f（x）圖象在函數g（x）=x³圖象的下方；
（Ⅲ）設函數h（x）=f′（x），求證：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將“方程xf（x）-x³=2009的根”轉化為：“函數y=lnx與y=”的交點，將“方程xe^x=2009的根”轉化為：“函數y=e^x與y=”的交點；最由K_AB=-1，求得α•β
（Ⅱ）構造“函數F（x）=x²+lnx-x^3”，將問題轉化為：“F（x）≤0恒成立”，再用導數法，研究其單調性，求得其最大值即可．
（Ⅲ）當n=1時，左邊=x++2，右邊=x++2，不等式成立；當n≥2時，由[h（x）]ⁿ-h（xⁿ）=（x+）ⁿ-（xⁿ+）
=[C_n¹（x^n-2+）+C_n²（x^n-4+）+…+C_n^n-1（+x^n-2）]作差比較．
解答：解：（Ⅰ）根據題意：易知y=lnx與y=的交點為A（α，），
y=e^x與y=的交點為B（β，）；由K_AB=-1，易知α•β=2009（4分）

（Ⅱ）設F（x）=x²+lnx-x³，則F′（x）=x+-2x²=
∵x＞1，F′（x）＜0∴F（x）在區間（1，+∝）上是減函數又∵F（1）=-＜0
∴x²+lnx-x³＜0，即x²+lnx＜x³，x∈（1，+∞）
∴在區間（1，+∞）上，函數f（x）圖象在函數g（x）=x³圖象的下方（9分）

（Ⅲ）當n=1時，左邊=x++2，右邊=x++2，不等式成立；
當n≥2時，[h（x）]ⁿ-h（xⁿ）=（x+）ⁿ-（xⁿ+）
=[C_n¹（x^n-2+）+C_n²（x^n-4+）+…+C_n^n-1（+x^n-2）]
由已知，x＞0
∴[h（x）]ⁿ-ln（xⁿ）≥C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1=2ⁿ-2
∴[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ．（15分）
點評：本題主要考查函數與方程的綜合運用，主要涉及了方程根的問題轉化為函數圖象的交點，不等式恒成立問題，轉化為函數的最值問題，比較法證明不等式等．