Question

設函數f（x）=e^x，g（x）=x²+4x+5，g（x）的導函數為g'（x）（e為自然對數底數）．
（Ⅰ）若函數y=

f(2x)

e

-ag'（x）+4a有最小值0，求實數a的值；
（Ⅱ）記h（x）=f（x+2n）-ng（x）（n為常數），若存在唯一實數x₀，同時滿足：（i）x₀是函數h（x）的零點；（ii）h′（x₀）=0．試確定x₀、n的值，并證明函數h（x）在R上為增函數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出y的表達式，利用求導數方法研究其單調性，確定最小值，令其為0，解方程求出參數值．
（Ⅱ）：（i）x₀是函數h（x）的零點；（ii）h′（x₀）=0這兩個條件給出了兩個方程，利用此兩方程即可解出x₀、n的值，由此求出函數h（x）的解析式，再利用導數為正，證明其是增函數．

解答：解（Ⅰ）∵y=

f(2x)

e

-ag′(x)+4a=e2x-1-2ax，∴y′=2e2x-1-2a，
當a≤0時，y'＞0，函數在R上為增函數，故沒有最小值，∴a＞0（2分）
此時由2e^2x-1-2a=0得：x=

1

2

（lna+1），且x＞

1

2

（lna+1）時，y'＞0
x＜x＞

1

2

（lna+1）時，y'＜0，
∴x∈（-∞，

1

2

（lna+1））時，函數為減函數，
x∈（

1

2

（lna+1），+∞）時，函數為增函數，
∴ymin=a-2a•

1

2

(lna+1)=-alna，∵ymin=0，∴a=1(6分)
（Ⅱ）∵h（x）=e^x+2n-n（x²+4x+5），∴h'（x）=e^x+2n-2nx-4n，
∵

{	h(x0)=0 h′(x0)=0

，

{	ex0+2n=2nx0+4n(1) ex0+2n=nx02+4nx0+5n(2)

，
∴nx₀²+4nx₀+5n=2nx₀+4n由（1）知n≠0，∴2x₀+4=x₀²+4x₀+5，∴（x₀+1）²=0∴x₀=-1（9分）
代入（1）有e^2n-1-2n=0，由第（I）小題知，A、=1時，函數y=e2x-1-2ax=e2x-1-2x有最小值0，且當x=

1

2

(lna+1)=

1

2

取到最小值0∴方程e2n-1-2n=0有唯一解n=

1

2

，∴x0=-1，n=

1

2

(11分)∵h(x)=ex+1-

1

2

(x2+4x+5)，∴設R(x)=h′(x)=ex+1-x-2，R'（x）=e^x+1-1，（12分）
∴x≥-1時，R'（x）≥0，x＜-1時，R'（x）＜0x=-1時，R（x）_min=0，∴x∈R，R（x）≥0，僅當x=-1時R（x）=0∴h'（x）≥0在R上恒成立，且僅當x=-1時h'（x）=0，∴h（x）在R上為增函數（14分）

點評：考查利用導數研究函數的單調性求最值，本題運算量較大，繁瑣．