Question

已知橢圓的一個焦點為，且離心率為．
（1）求橢圓方程；
（2）過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點，點關于軸的對稱點為，求△面積的最大值.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質、直線與橢圓的相交問題、韋達定理、均值定理等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，利用橢圓的焦點、離心率的定義列出方程，解出基本量a和b，得到橢圓的標準方程；第二問，利用點斜式先設出直線的方程，令直線與橢圓方程聯立，消參得到關于x的方程，利用韋達定理得到，，列出和的面積，從而得到的面積表達式，將，代入，最后利用均值定理得到最大值，注意要討論最大值成立的條件.
（1）依題意有，．
可得，．
故橢圓方程為．                  ５分
（2）直線的方程為．
聯立方程組
消去并整理得． （*）
設，．
故，．
不妨設，顯然均小于．
則，
．
 
．
等號成立時，可得，此時方程（*）為 ，滿足．
所以面積的最大值為．                       13分
考點：橢圓的標準方程及其幾何性質、直線與橢圓的相交問題、韋達定理、均值定理.