Question

如圖，互相垂直的兩條公路AM、AN旁有一矩形花園ABCD，現欲將其擴建成一個更大的三角形花園APQ，要求P在射線AM上，Q在射線AN上，且PQ過點C，其中AB=30米，AD=20米．記三角形花園APQ的面積為S．
（Ⅰ）當DQ的長度是多少時，S最小？并求S的最小值．
（Ⅱ）要使S不小于1600平方米，則DQ的長應在什么范圍內？

Answer 1

分析：（1）由于DC∥AB得出△QDC∽△DAP從而AP用DQ表示，利用三角形的面積公式表示出面積，
（2）轉化成數學問題，再利用基本不等式求最值，注意等號何時取得．

解答：解：（Ⅰ）設DQ=x米（x＞0），則AQ=x+20，
∵

QD

DC

=

AQ

AP

，∴

x

30

=

x+20

AP

，∴AP=

30(x+20)

x

則S=

1

2

×AP×AQ=

15(x+20)2

x

=15（x+

400

x

+ 40）≥1200，當且僅當x=20時取等號
（Ⅱ）由S≥1600，得3x²-200x+1200≥0解得0＜x≤

20

3

或x≥60
答：（Ⅰ）當DQ的長度是20米時，S最小？且S的最小值為1200平方米．
（Ⅱ）要使S不小于1600平方米，則DQ的取值范圍是0＜DQ≤

20

3

或DQ≥60．

點評：本題考查將實際問題轉化成數學問題的能力．