Question

（2010•撫州模擬）給出下列命題：
①不存在實數a，b使f（x）=lg（x²+bx+c）的定義域、值域均為一切實數；
②函數y=f（x+2）圖象與函數y=f（2-x）圖象關于直線x=2對稱；
③方程lnx+x=4有且只有一個實數根；
④a=-1是方程a²x²+（a+2）y²+2ax+a=0表示圓的充分不必要條件．其中真命題的序號是

①③④

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：根據對數函數的值域與定義域，可以判斷①的真假；根據函數圖象的對稱變換法則，我們可以判斷②的真假；根據函數零點個數與對應方程根的個數之間的關系，可以判斷③的真假；利用圓的方程的特點，我們可以判斷④的對錯；進而得到答案．

解答：解：若函數f（x）=lg（x²+bx+c）的定義域為R，則x²+bx+c的最小值A必定大于0，
則函數的值域為[lgA，+∞）≠R，
故不存在實數a，b使f（x）=lg（x²+bx+c）的定義域、值域均為一切實數，①為真命題；
對于②，若f（x）=x²，則函數y=f（x+2）=（x+2）²圖象與函數y=f（2-x）=（2-x）²圖象不關于直線x=2對稱，故②為假命題；
由于函數y=ln x與函數y=-x+4的圖象有且只有一個交點，故③方程ln x+x=4有且只有一個實數根為真命題；
由于a=-1或a=2是方程a²x²+（a+2）y²+2ax+a=0表示圓的充分必要條件，
從而a=-1是方程a²x²+（a+2）y²+2ax+a=0表示圓的充分不必要條件，故④為真命題；
其中真命題的序號是 ①③④
故答案為：①③④．

點評：本題考查的知識點是命題真假判斷，其中熟練掌握對數函數的定義域，函數圖象，根的存在性及根的個數判斷，二元二次方程表示圓的條件是解答本題的關鍵．