Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，直線，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線分別交直線和于點(diǎn)．

（1）求弦長(zhǎng)的最小值；

（2）在直線上任取一點(diǎn)，當(dāng)的斜率時(shí)，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）求橢圓的弦長(zhǎng)，可分類，當(dāng)斜率不存在時(shí)，得弦長(zhǎng)為，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，將的方程代入橢圓方程，得的一元二次方程：，從而有（也可解出），弦長(zhǎng)為，這樣可以把弦長(zhǎng)用表示出來，求出其最小值或證明它大于，說明是最小值；（2）由向量的數(shù)量積定義可得，由于，由（1）可得中點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得方程，又得點(diǎn)坐標(biāo)，最后得長(zhǎng)，得數(shù)量積．

試題解析：（1）①當(dāng)軸時(shí)，；

②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，將的方程代入橢圓方程，得，

則的坐標(biāo)為，

且．

綜合①、②知，弦長(zhǎng)的最小值為

（2）若，則的坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴

∴