Question

已知函數f（x）=

2

mcos²(x+

3

4

π)-

1

2

sin2x．
（1）若m=1，求函數f（x）的最值；
（2）若函數f（x）在區間[

π

4

，

π

2

]上的最小值等于2，求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）當m=1時，f（x）=

2

cos²(x+

3

4

π)-

1

2

sin2x=

2

2

+

2 -1

2

sin2x，結合-1≤sin2x≤1可求
（2）利用二倍角公式、輔助角公式、誘導公式對函數化簡f（x）=

2

cos²(x+

3

4

π)-

1

2

sin2x=

2 m

2

+

2 m-1

2

sin2x結合x的范圍可求，sin2x的范圍，結合

2

m- 1的正負可求函數取得最小值時的m

解答：解：（1）當m=1時，f（x）=

2

cos²(x+

3

4

π)-

1

2

sin2x
=

2

2

[1+cos(2x+

3π

2

)] -

1

2

sin2x
=

2

2

+

2 -1

2

sin2x
∵-1≤sin2x≤1
∴

1

2

≤f(x)≤

2

-

1

2

∴函數的最大值為

2

-

1

2

，最小值為

1

2

（2）∵f（x）=

2

cos²(x+

3

4

π)-

1

2

sin2x=

2 m

2

[1+cos(2x+

3π

2

)]-

1

2

sin2x
=

2 m

2

+

2 m-1

2

sin2x
∵

π

4

≤x≤

π

2

∴

π

2

≤2x≤π，0≤sin2x≤1
當m≥

2

2

時，由題意可得

2

2

m=2，則m=2

2

當m＜

2

2

時，由題意可得

2

m-

1

2

=2，此時m不存在
綜上可得m=2

2

點評：本題主要考察了二倍角公式、輔助角公式及誘導公式在三角函數化簡中的應用，正弦函數的性質的靈活應用是解答本題的關鍵