Question

【題目】已知O為坐標原點，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）是橢圓 + =1上的點，且x1x2+2y1y2=0，設動點P滿足 = +2
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=x+m（m≠0）與曲線C交于A，B兩點，求三角形OAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設點P（x，y），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），
則由 ，得（x，y）=（x1 ， y1）+2（x2 ， y2），
即x=x1+2x2 ， y=y1+2y2 ， 因為點M，N在橢圓 上，
所以 ，
故
=
=20+4（x1x2+2y1y2），
設kOM ， kON分別為直線OM，ON的斜率，
由題意知， ，
因此x1x2+2y1y2=0，
所以動點P的軌跡C的方程為x2+2y2=20．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知P點是橢圓 上的點，
設該橢圓的左右焦點為F1、F2 ， 則由橢圓的定義，|PF1|+|PF2|為定值，
又因為 ，
因此兩焦點的坐標分別為 ．
將曲線C與直線l聯立： ，消y得：3x2+4mx+2m2﹣20=0，
∵直線l與曲線C交于A、B兩點，設A（x3 ， y3），B（x4 ， y4），
∴△=16m2﹣4×3×（2m2﹣20）＞0， ，
又∵m≠0，得0＜m2＜30，
∵點O到直線AB：x﹣y+m=0的距離 ，
∴ ，
∴
= ．
∴三角形OAB面積的最大值為5
【解析】（Ⅰ）設點P（x，y），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），由 ，得（x，y）=（x1 ， y1）+2（x2 ， y2），由點差法得 ，由此能求出動點P的軌跡C的方程．（Ⅱ）將曲線C與直線l聯立： ，得：3x2+4mx+2m2﹣20=0，設A（x3 ， y3），B（x4 ， y4），由此利用根的判別式、韋達定理、點到直線的距離公式，結合已知條件能求出三角形OAB面積的最大值．