Question

已知函數f（x）=

2x2-3x+1，x≤1 -x2+x，x＞1

，關于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三個互不相等的實數根x₁，x₂，x₃，則x₁+x₂+x₃的取值范圍是

(

5

2

，

8+ 6

4

)

．

Answer 1

分析：由題意根據分段函數解析式畫出其圖象，不妨設y=m與y=2x²-3x+1（x≤1）的兩個交點的橫坐標為x₁，x₂，與y=-x²+x（x＞1）交點的橫坐標為x₃，然后求出x₁+x₂，以及x₃的范圍即可求出所求．

解答：解：畫出函數f（x）=

2x2-3x+1，x≤1 -x2+x，x＞1

的圖象如下圖，

方程f（x）=m有3個根，則-

1

8

＜m＜0，
不妨設y=m與y=2x²-3x+1（x≤1）的兩個交點的橫坐標為x₁，x₂，
與y=-x²+x（x＞1）交點的橫坐標為x₃．
則x₁+x₂=

3

2

，當m接近-

1

8

時x₃接近最大，由-x²+x=-

1

8

解得x₃接近

2+ 6

4

．
即x₃∈（1，

2+ 6

4

）
∴x₁+x₂+x₃的取值范圍是(

5

2

，

8+ 6

4

)．
故答案為：(

5

2

，

8+ 6

4

)．

點評：本題考查了根的存在性即根的個數的判斷，考查了數形結合的解題思想方法，是中檔題．