Question

14.設平面內有ｎ條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用表示這ｎ條直線交點的個數，則＝_____________；當ｎ＞４時，＝_____________．（用n表示）

Answer 1

14. 5,  .

解析：同一平面內兩條直線若不平行則一定相交，故每增加一條直線一定與前面已有的每條直線都相交，

∴f（k）=f（k－1）+（k－1）.

如圖，當n=3時，只有兩個交點，

即f（3）=2，

f（4）=f（3）+3=2+3；

f（5）=f（4）+4=2+3+4；

……

f（k）=f（k－1）+（k－1）=2+3+4+…+（k－1），

∴f（k）=（k+1）（k－2）.

∴f（n）=（n－2）（n+1）.

或利用f（k）－f（k－1）=k－1，

則f（4）－f（3）=3，

f（5）－f（4）=4，

……

f（n）－f（n－1）=n－1，

將上面n－4式子相加得f（n）－f（3）=3+4+…+（n－1），

∴f（n）=（n－2）（n+1）.