Question

等比數列{a_n}的公比為q，其前n項的積為T_n，并且滿足條件a₁＞1，a₉a₁₀-1＞0，a₉a₁₀-a₉-a₁₀+1＜0．給出下列結論：
①0＜q＜1；
②T₁₀的值是T_n中最大的；
③使T_n＞1成立的最大自然數n等于18．
其中正確結論的序號是

①③

．

Answer 1

分析：首先判斷數列的單調性，然后再根據等比數列的性質進行分析判斷．

解答：解：∵a₉a₁₀-1＞0，∴a₁²•q¹⁷＞1，∴q＞0，
又∵a₉a₁₀-a₉-a₁₀+1=（a₉-1）（a₁₀-1）＜0．
∴a₉，a₁₀一個大于1，一個小于1，而a₁＞1
∴數列不會是單調遞增的，只能單調遞減，
∴必是a₉＞1，a₁₀＜1，
∴0＜q＜1，故①正確，
由a₁₀＜1可得T₁₀＜T₉，故②錯誤；
又T₁₉=a₁a₂••a₁₉=（a₁₀）¹⁹＞＜1，
T₁₈=a₁a₂…a₁₇a₁₈=（a₉•a₁₀）⁹＞1，故③正確．
故答案為：①③

點評：本題考查等比數列的性質，由題意得出數列的單調性以，得出a₉＞1，a₁₀＜1是解決問題的關鍵，屬中檔題．