Question

（2008•南京模擬）已知函數y=f （x）的定義域為R，f （27）=3，且對任意的實數x₁，x₂，必有f （x₁•x₂）=f （x₁）•f （x₂）  成立，寫出滿足條件的一個函數為

y=

3	x

．

Answer 1

分析：由題意，函數滿足對任意的實數x₁，x₂，必有f （x₁•x₂）=f （x₁）•f （x₂） 成立，考查基本初等函數，冪函數y=f （x）=xⁿ具有這樣的性質，故可猜測函數解析式f （x）=xⁿ，再結合題設條件f （27）=3，即可找出符合條件的函數

解答：解：由于（x₁•x₂）ⁿ=（x₁）ⁿ×（x₂）ⁿ
∴對于函數y=f （x）=xⁿ，都滿足對任意的實數x₁，x₂，必有f （x₁•x₂）=f （x₁）•f （x₂） 成立
又f （27）=3
∴27ⁿ=3³ⁿ=3，解得n=

1

3

故滿足條件的一個函數是y=

3	x

故答案為y=

3	x

點評：本題考查根據所給的函數性質求函數解析式，本題是一個開放式題，答案可能不唯一，解題的關鍵是根據所給的函數性質找出符合條件的函數，即找出具有這種性質的函數函數，這也是本題的難點